LECȚIE · CAPITOLUL 2

2.4. Baze de numerație

Reprezentarea numerelor și conversii între baza 10, baza 2 și alte baze.

REPREZENTARE

→

2 → 10

→

10 → BAZĂ

→

VERIFICARE

OBIECTIVE

La finalul lecției vei putea...

Baza 2

Interpretezi și construiești reprezentări binare.

2 → 10

Convertești prin suma cifrelor înmulțite cu puteri ale bazei.

10 → b

Convertești prin împărțiri succesive și resturi.

Verificare

Verifici o conversie prin conversie inversă.

✓

Checkpoint

În ce ordine citim resturile obținute la conversia din baza 10?

EXPLICAȚIE

Sisteme de numerație și conversii

2.1. Ce înseamnă baza?

În baza 10 folosim cifrele 0–9. În baza 2 folosim numai 0 și 1. Valoarea unei reprezentări depinde de cifre și de poziția lor.

2.2. Din baza 2 în baza 10

Calculăm suma cifră × puterea lui 2 corespunzătoare poziției. De exemplu, (1011)₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2 + 1 = 11.

2.3. Din baza 10 într-o bază b

Împărțim succesiv la b. Resturile obținute, citite de jos în sus, formează reprezentarea.

2.4. Generalizarea

Pentru 2 ≤ b ≤ 16 putem folosi cifrele 0–9 și, pentru valori de la 10 la 15, literele A–F. În implementarea de bază, conversiile cu cifre 0–9 pot fi realizate direct.

EXEMPLU INTUITIV

1101₂ este 13₁₀

Imaginează-ți patru poziții care valorează 8, 4, 2 și 1. Cifrele 1,1,0,1 selectează 8, 4 și 1.

8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Activitate

Care este valoarea lui 1010₂?

PYTHON

Conversii construite pas cu pas

Baza 2 → baza 10

s = "1011"
n = 0
for c in s:
    n = n * 2 + int(c)
print(n)

Baza 10 → baza 2

n = int(input())
if n == 0:
    print("0")
else:
    rez = ""
    while n > 0:
        r = n % 2
        rez = str(r) + rez
        n //= 2
    print(rez)

De ce construim la începutul rezultatului?

Resturile apar de la cifra cea mai puțin semnificativă spre cea mai semnificativă. De aceea, fiecare rest nou este adăugat în fața rezultatului.

ALGORITM / PSEUDOCOD

Conversia 2 ↔ 10

Baza 2 → baza 10

citește s
n ← 0
pentru fiecare cifră c din s execută
    n ← n · 2 + c
sfârșit pentru
scrie n

Baza 10 → baza 2

citește n
rez ← șir vid
cât timp n > 0 execută
    r ← n mod 2
    rez ← r urmat de rez
    n ← n div 2
sfârșit cât timp
scrie rez

ATENȚIE!

Erori frecvente

Resturile se inversează

Ordinea naturală a resturilor este inversul reprezentării finale.

Cazul 0

Conversia lui 0 necesită tratare explicită, deoarece bucla while nu se execută.

Cifre permise

În baza b sunt permise valori de la 0 la b−1.

Verifică invers

O metodă sigură de verificare este să convertești rezultatul înapoi.

EXEMPLU REZOLVAT

37₁₀ în baza 2

Analiză

Împărțim succesiv 37 la 2 și păstrăm resturile.

n	n % 2	n // 2
37	1	18
18	0	9
9	1	4
4	0	2
2	0	1
1	1	0

Resturile citite invers sunt 100101, deci 37₁₀ = 100101₂.

Python

n = int(input())
rez = ""
if n == 0:
    rez = "0"
else:
    while n > 0:
        rez = str(n % 2) + rez
        n //= 2
print(rez)

Testare

Teste: 0, 1, 2, 4, 8, 16, 37 și un număr care nu este putere a lui 2.

Verificare

100101₂ = 32 + 4 + 1 = 37, deci conversia este corectă.

EXERCIȚII DE BAZĂ

Aplică direct

Transformă 101₂ în baza 10.
Transformă 1101₂ în baza 10.
Transformă 10000₂ în baza 10.
Transformă 5₁₀ în baza 2.
Transformă 12₁₀ în baza 2.
Transformă 20₁₀ în baza 2.
Calculează 1011₂.
Scrie un program pentru baza 2 → baza 10.
Scrie un program pentru baza 10 → baza 2 fără bin().
Verifică prin conversie inversă 37₁₀ = 100101₂.

EXERCIȚII DE APROFUNDARE

Generalizare și verificare

Explică reprezentările binare ale puterilor lui 2.
Determină câte cifre are un număr în baza 2.
Scrie converteste(n, baza) pentru 2 ≤ baza ≤ 16.
Transformă 156₁₀ în baza 8 și verifică.
Transformă 254₁₀ în baza 16.
Verifică dacă un șir este valid în baza 2.
Realizează un program cu opțiunile 10→2 și 2→10.
Compară bin(n) cu algoritmul construit de tine.

VERIFICARE

Verifică ce ai înțeles

MINI-PROIECT

Convertor de sisteme de numerație

MISIUNE

Construiește un convertor

Realizează o aplicație care oferă conversii 10→2, 2→10, 10→8, 10→16 și 16→10.

Validează opțiunea și datele de intrare.
Construiește algoritmii fără funcții de conversie gata făcute acolo unde cerința solicită algoritmul propriu.
Testează 0, 1, puteri ale lui 2 și valori intermediare.
Verifică rezultatele prin conversie inversă.

Criterii

Corectitudine40%

Algoritm25%

Interfață meniu15%

Testare20%

Ai terminat lecția?

Recitește explicațiile și verifică rezultatele înainte de a marca lecția.